Comumente na engenharia divide-se um problema em campos característicos que definem o comportamento global do sistema e de seus estados. Tem-se, por exemplo, a divisão por regimes de operação, como o permanente e o transiente. Dado um problema estrutural, algumas dessas divisões podem ser feitas categoricamente por problemas estáticos e dinâmicos, de forma condensada.
Sendo o primeiro um caso particular do segundo, é também dado por uma solução mais simples de aspecto algébrico. No problema estrutural estático, os períodos dos carregamentos são longos e, por consequência, as frequências são baixíssimas, o que promove ao longo do domínio do tempo taxas de tensão-deformação nulas, ou seja, estes parâmetros se comportam de forma constante. A velocidade de carregamento, ainda por efeito do que foi dito, pouco varia, o que implica em uma aceleração desnecessariamente representável, descartando a presença de forças inerciais. Aqui, possui-se um mar de massas-molas e força, com a lei de Hooke agindo solitariamente.
De forma divergente ao apresentado no parágrafo anterior, um problema dinâmico apresenta um comportamento variante com o tempo se tratando de deslocamento, tensão e deformação. As forças muitas vezes são caracterizadas por serem cíclicas e periódicas, que se repetem (quando não-aleatórias / não-periódicas) identicamente em intervalo de tempos iguais e essas solicitações promovem acelerações nos corpos mássicos, evidenciando uma coexistência de uma componente de força de inércia. Sua solução é relacionada às equações diferenciais. Aqui, possui-se um par de massas-molas-amortecedores e força, com um agente ambivalente composto pela lei de Hooke e a de Newton.
Todavia, a distinção entre os dois atributos é dada pela condição de variação do carregamento, não bastando este ser função do tempo, sendo necessário variar rapidamente com este, caso contrário o problema pode ser facilmente assumido como de caráter estático. Muitas vezes o errado tratamento da questão estrutural gera resultados incondizentes com a realidade do sistema físico. Por exemplo, se em um software para analisar questões estáticas é representada uma força de impulso atuante na estrutura, o resultado gerado pode indicar um rompimento desta, apesar de no ensaio em laboratório não haver dano algum. Isso ocorre pela utilização da força integralmente na equação de Hooke, ou seja, houve aplicação da força para provocar deformação, enquanto na verdade houve no sistema físico um movimento em estado de dualidade com o da deflexão. Assim, há uso de energia também para gerar movimento e menos para deformação, mantendo a estrutura íntegra.
As entidades que geram carregamentos estáticos e dinâmicos são completamente distintas de tal sorte que dentro do âmbito da análise linear suas contribuições para geração das tensões são calculadas separadamente e depois superpostas, em uma operação aditiva comum.
Abaixo segue um exemplo de aplicação numérica para ilustrar como é feito o tratamento das questões dissertadas. É um problema de desbalanceamento rotativo. Um motor é fixado na extremidade de uma viga com um engastamento e outro fim livre.
Figura 1: Motor Comportado por uma Viga em Balanço
Dado um comprimento L de 2 m, um momento I de inércia de 5. 10-⁵ m⁴ de e para um módulo de elasticidade E do aço de 21. 10 N/m² . A rigidez da mola equivalente localizada no ponto de apoio do motor, na extremidade da viga é dada por:
A massa do motor, muito maior que a da viga, é de 1500 kg com um desbalanceamento de 50 kg, o que nos permite calcular a frequência natural associada à massa na extremidade da viga:
O desbalanceamento rotativo é um problema equivalente ao problema da massa com uma força sendo atuada nela, de equação já adequada ao nosso estudo, dada uma excentricidade é de 0.1:
A frequência de excitação é baseada na rotação de trabalho que o motor opera, sendo esta de 360 RPM, ou seja, 37.7 rad/s. Com isso, pode-se calcular a razão entre as frequências do caso para encontrar o fator de amplificação dinâmico posteriormente.
Para um fator de amortecimento estrutural, tem-se normalmente na faixa de 3% a 5%, aqui usaremos um de 3%. A amplificação então é calculada.
Com isso em mãos, resta calcular o ângulo de fase da função deslocamento da vibração permanente e aplica-la em sua solução.
Na expressão acima a notação científica que multiplica a função seno é a amplitude da resposta senoidal, e a equação como um todo nos permite calcular o deslocamento variável com o tempo. Restando, então, calcular a parcela estática e constante causada pelo peso do motor.
O deslocamento máximo então é dado pelo somatório simples de ambas as contribuições, da entidade estática (peso próprio do motor) e da dinâmica (desbalanceamento rotativo). A própria amplitude da vibração estacionária informa o deslocamento máximo em módulo, pois a função seno assume valores absolutos máximos de 1.
As tensões são calculadas separadamente e depois somadas de forma análoga. O momento fletor para o engastamento é 29430 Nm (peso do motor pelo comprimento da viga) e para a componente dinâmica é 14212.9 Nm (amplitude da equação de força pelo comprimento). Sendo y a distância à linha neutra.
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